[ONDELETTES]

 

[Compression d'images] : TIPE : Compression par ondelettes

 

PLAN:

 


PRINCIPE

On procède à une décomposition de l’image fréquentielle et spatiale, par projections successives (de manière récursive en fait) sur deux sous-espaces orthogonaux, l’un donnant l’allure générale de l’image (il s'agit de l'image en résolution moitié) et l’autre les détails. Les sous-espaces sont définis par une base orthonormée de vecteur, dont j'explique la construction plus loin. La projection se fait très simplement, étant donné que l'on a une base orthonormée. Il ne s'agit que de calculer des produits scalaires.




INTERETS

- Les détails sont presque nuls (pour des images suffisament régulières, comme c'est le cas pour des photos)
- Ces détails peuvent être négligés en dessous d’un certain seuil (modifications indécelables).

- Le traitement de l’image n’est pas uniforme (dans l'espace), puisque on conserve une information spatiale.


DECOMPOSITION

On note Ep l'ensemble des images de taille 2p * 2p.

On décompose donc Ep de la manière suivante :

Il est alors possible de décomposer Ep-1 de la même manière. Concrêtement, on connait les vecteur d'une base orthogonale de Ep-1 et Fp-1 et on projette en calculant les produits scalaires. Le produit scalaire adopté est : < f | g > = Intégrale ( fg , I ) où I est un segment borné qui est le support du signal [taille du signal finie]

CONSTRUCTION DE LA BASE :

On se place dans le cas d'un signale à une dimension pour simplifier l'étude. (les images sont des signaux à deux dimensions). On choisit une fonction dite "ondelette mère". Cette fonction doit être d'intégrale nulle et tendre rapidement vers 0 à ses extémités.

Exemples :

Ondelette de Morlet

Ondelette de Haar

Pour former une base de Fp-1, on procède par dilatation / translation de l'ondelette mère. La base de Ep est la base canonique. Par le processus suivant, on remplace deux-à-deux les vecteurs de la base de Ep par un vecteur de Ep-1 et son complémentaire qui est dans Fp-1 :

Ces deux vecteurs sont remplacés par un vecteur de Ep-1 [vecteur de la base canonique en resolution moitié] et un vecteur de Fp-1 [obtenu à partir de l'ondelette mère]

<==== equivalent ====>

Les deux nouveaux vecteurs sont orthogonaux entre eux [intégrale de la fonction d'ondelette nulle] ainsi qu'à tous les autres vecteurs de la base [car tous les vecteurs sont nuls en dehors de leur support]. Concrêtement, lorsqu'on calcule les coefficients d'ondelettes, un coefficient élevé signifie qu'au voisinage du support du vecteur d'ondelette, le signal oscille à une frequence proche de celle du vecteur de la base.

En deux dimension, cette décomposition peut se visualiser de la manière suivante :

 

2p-1

2p-1

2p-1

2p

2p

Détails

On travaille d'abord sur les colonnes, en appliquant ce qu'on a vu en une dimension à chacune des lignes [traitée indépendanment], puis on travaille sur les lignes du résultat obtenu. Ce principe est plus facile lorsqu'on regarde le cas particulier des ondelettes de Haar : http://www.chez.com/rpauchet/lapageTIPE/T[...]ndelettes.html

Voici ce que l'on obtient avec Haar :

 


QUANTIFICATION

Cela ressmble au Jpeg : il y a un seuil pour chaque niveau de détail, et en dessous de ce seuil le coefficient est remplacé par 0.

 


CODAGE ENTROPIQUE

La façon de procéder est la même que pour le Jpeg.

 


FIGURES

Voici quelques figures que j'ai réalisé :

Base de Haar, une itération

Base de Haar, deux itérations

Base de Haar, trois itérations

Légende :

Blanc : 0
Noir : 1
Gris : -1

On constate que on a une inforation spatiale et frequentielle. De plus, plus la fréquence est haute, plus on a d'information spatiale. Ce résultat reste vrai quelque soit l'ondelette mère utilisée. Enfin, on distingue trois zones de détails : contours verticaux, diagonaux, horizontaux.

Structure des données après compression de Haar [ trois itérations ]

Pour compresser en JPEG2000, il exite KDU_Compress, qui est gratuit. Pour les mises-à-jour, allez-voir sur www.jpeg.org.

 

Guillem PRATX - Mail : mon nom de famille @stanford.edu

 

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